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数学上的“连续”的概念，怎么理解？
连续性在《数学分析》是一个非常有影响力的概念，它不仅本身起着重要的作用(比如作为函数的三个特征之一:连续性、可微性、可积性)，而且还与其他许多概念(比如极限)相关，所以要理解它真的需要下一番功夫！在这里，小石要用十个题目向大家展示连续性概念的全貌。希望你会喜欢！)
连续性意味着一个接一个的连续。日常生活中的绳子，电源线，项链，都是连续的东西。这些东西都是由一个子对象组成的。这些子对象排成一行，对象之间没有中断。
数字自然可以按照大小的关系排成一行，所以需要研究数字之间的关系，这就引出了我们今天讨论的第一个话题:实数的连续性。
起初，人们认为:
整数集z是不连续的，因为在0和1之间，有1/2把它们分开；
有理数Q的集合是连续的，因为Q是稠密的:任意两个不同的有理数之间，有无数个有理数；
但是随着√2的发现，人们意识到有理数中存在无理数，所以有理数Q的集合是不连续的，而有理数和无理数组成的实数R的集合才是真正连续的。
同时，人们也认识到了密度≠连续性，我们需要重新找到实数连续性的定义！在早期，人们将实数与一条直线上的点一一对应，几何上将直线定义为连续的，因此与直线一一对应的实数集也是连续的。后来，经过很长一段时间，数学家们发现，对于某个数集k，可以进行如下分割运算:
k的所有数字按照从小到大，从左到右，在我们面前排成一行。我们用小刀把这条线切开，用小刀把一条线分成左右A和B，显然A和B满足条件:
左半部分A中的任何数都小于右半部分b中的任何数。
这种满足上述条件的分割操作称为去德金分割，标记为a | b，发现去德金分割的结果因K是否连续而不同:
如果k是不连续的，则这条线上有一个缺口。当刀刚好经过一个缺口点时，分割的结果是:A没有最大值，B没有最小值；
如果k是连续的，那么这条线上就没有缺口点，所以刀必须在在某一点X，由于该点不可分，刀要么在B的最小值为X时从点X的左侧穿过，要么在A的最大值为X时从点X的右侧穿过；
所以大家会把上面的结论2作为数集合k的连续性定义，实数集合R满足这个定义的要求，有理数集合Q不满足。我们称实数为连续系统，简称连续系统。
不仅直线，平面上的曲线也是连续的，而曲线又与实函数有关，所以连续性的概念就成为实函数的一个重要性质。那么，如何定义实函数上的连续性呢？这是我们在这里要讨论的第二个话题。
实函数f(x)定义为从实数集r的子集: : : : c→c，其中复平面c和二维平面R2的扩张具有R2的完全性质。一个复杂的函数可以写成:
f(z) u(x，y) iv(x，y)
它将复平面上的任意点z x iy映射到另一个复平面上的点f(z) u(x，y) iv(x，y)，同时将整个前一个复平面映射到后一个复平面的一部分。
Z点附近的连续性或不连续性如下:
根据前面的讨论，无限逼近z → z解释为x → x，y → y → Y..极限连续性条件:
这里的意思是当Z从任意方向无限逼近Z时，f(z)将无限逼近f(z)，解释为:
用ε-δ语言描述为:
对于任意一个实数ε 0，都有一个实数δ 0，所以对于|z-z| δ复平面上的所有点Z都有|f(z)-f(z)| ε。
其中复数之间距离定义为:
|z - z| √[(x - x)2 (y - y)2]
在上一个主题中，我们提到了多元函数域: : : V×V→R，它满足:
正定性:d (x，y) ≥ 0，d(x，x)0；
对称性:d (x，y) d (y，x)；
三角不等式:d (x，y) d (y，z) ≤ d (x，z)；
我们称距离函数定义为距离空间的空间V，记为(V，d)。可以验证先前定义的距离满足上述条件。
空间完备性的定义适用于任何距离空间。
注意:一个空间可以定义多种距离函数，例如，距离也可以定义在R:
d(x，x) |x1 - x1| |x2 - x2|...|x - x|
最后一个题目介绍了距离空间的概念。如果回顾一下多元向量函数的ε -δ语言所描述的连续性的定义，会发现这个定义只依赖于距离。这表明，对于任何距离空间中从(V，d)到(W，d)的映射，f: v→w，我们都可以把它的连续性定义为:
若δ 0对任意ε 0存在，使得满足d(x，x) δ的所有点X都有d(f(x)-f(x)) ε，则f(x)在点X连续。
这样，我们把函数的连续到距离空间之间映射的连续性。此时，人们可以 我不禁要问:还有比距离空间更一般的空间吗？如果是，如何定义这个空间中映射的连续性？接下来，第六个话题，l: x∈U，f(x) y}
然后仔细观察比较，f(x)在X点，两边断开。
以及双方之间的连续性，
我们会发现:
如果X是一个不连续点，则存在一个确实包含f(x)的区域V，对于任何确实包含X的区域U，U的像f(U)不能包含在V中；
如果x是一个连续点，对于任何一个真正包含f(x)的区域v，都存在一个真正包含x的区域U，使得U的像f(U)包含在v中，
其中，区域u确实包含x，也就是说u包含x但不仅仅包含x。
这必须是真包含，因为如果允许U只包含x，即U {x}，那么f(U) {f(x)}显然包含在v中，所以上面的发现1不成立。
考虑包含X的开区间(a，b)，因为一个X，根据实数的密度，必须存在才能构成一个X，所以(a，b)必须不仅仅包含X，所以，为了让u真正包含X，我们只需要让u包含包含X的开区间(a，b)我们称包含X的开区间的区域为X的邻域。
通过对上述发现2的梳理，我们可以得到实函数单点连续性的第二种定义:
如果对于f(x)的任意一个邻域V，存在X的一个邻域U，那么f(U) V，函数f(x)在X处是连续的。
如果v { y : | y-f(x)|ε}和u { x : | x-x |δ}，那么上述定义实际上是第一个ε-δ语言描述。
对于多元向量函数数，因为平面和超平面中没有区间，所以我们用开集代替开区间，重新定义邻域如下:
包含x的开集的区域称为x的邻域。
此时，第二个定义可以无缝地迁移到元向量函数。以复变函数f(z)为例，我们观察和比较了z附近连续和不连续的情况，
这与之前的发现完全一致。
这种新的一点连续性定义只依赖于邻域的概念，而邻域是由开集定义的，所以我们只要在其中指定开集就可以得到任意集合上映射的连续性。
开集的集合X是指定的，称为拓扑空间。若τ表示X中所有开集组成的子集族，则拓扑空间记为(X，τ)。开集是开区间的扩展概念，需要满足以下条件:
完备集X和空集都是开集；
任意数量的开集仍然是开集；
任意两个开集的交集仍是开集；
我们可以证明拓扑空间是比距离空间更宽的空间。
拓扑空间之间的映射称为拓扑映射，其连续性由第二个定义提供。
至此，映射的连续性基本讨论清楚了。下一个第七题，让 让我们讨论映射的整体连续性。
类似于前面连续函数的概念，我们将映射的全局连续性定义如下:
如果映射f在其定义域上的每一点都是连续的，我们称它为连续映射。
这个定义要靠一点连续性！事实上，对于从拓扑空间(X，τ)到(Y，τ)的拓扑映射f: X→Y，我们也可以利用开集直接定义它的全局连续性。
对于映射f的范围中的任何区域V Y，V在x中的原始图像被定义为:
f1(V){ X∈X : f(X)∈V }
回到开头，观察比较连续实函数和不连续实函数，
我们发现:
对于连续函数:任一开区间(开集)A的原像f1(A)仍是开区间(开集)；
对于不连续函数，开区间(开集)A的原像f1(A)不是开区间(开集)。
整理上述发现1后，我们得到如下拓扑映射全局连续性的定义:
如果拓扑映射F使得Y中任意开集A的原始图像f1(A)仍然是X的开集，
也就是说，
A ∈ τ f1(A) ∈ τ
那么f称为连续映射。
此外，我们将闭区间推广到闭集，并定义了。如下所示:
关于完备集x的补的开集，
然后根据进一步观察对比，接近上述情况。
不难发现:
对于连续函数:任一闭区间(闭集)A的原像f1(A)仍是闭区间(闭集)；
对于不连续函数，具有闭区间(闭集)A的原像f1(A)不是闭区间(闭集)。
这说明我们把拓扑映射的全局连续性定义中的开集换成闭集后仍然有效。
以上的整体连续性是建立在一个点上的，可以称之为逐点连续性。在下面的第八个主题中，我们讨论另一种整体连续性——一致连续性。
考虑实函数f: : | x-x |δ_ x/2 }，因为每个x∈E属于一个V _ x
如果我们能找到有限数量的x s来自e x: x1，x2，...，x保证:命令
δ min {δ_x1，δ_x2，...，δx }/2
因为，每个δ_ x ^ 0，而n是有限的，δ^ 0。
注意:这里需要保证n是有限的，因为当n是无穷大时，即使对于每个δ_x 0，它们的最小值仍然可以是0，例如:
最小{1，1/2，...，1/n，...} 0
对于任何满足|x-x| δ的X和X，一定有一个X属于某个δ_x，
| x-x |δx/2
根据距离的三角不等式:
|a - b| ≤ |a - c| | b - c|
是的，
| x-x |≤| x-x | | x-x |δδx/2≤δx
可以分别从|x-x| δ_x/2 δ_x和|x-x| δ_x得到。
|f(x)-f(x)| ε/2和|f(x)-f(x)| ε/2
再次使用三角不等式，你得到:
| f(x)-f(x)|≤| f(x)-f(x)| | f(x)-f(x)|ε
这样就推导出了一致连续性。
在推导过程中，我们要求:
我们可以发现子集W {V_x1，V_x2，...，有限元的V_x} V仍然是: x∈:[0，1] → X r(0) x ∧ r(1) y
然后，称X是道路连通的；
拓扑空间之间的连续映射，f: X→Y，可以保持连通性，即如果X连通，则其在Y中的像f(X)也连通。连续测绘还可以保持前方道路的连通性和紧凑性。这些能被连续映射保留的性质叫做拓扑性质。
最后，在第十题中，我们对上述讨论进行补充和总结。
首先，小石把上面讨论中提到的主要概念绘制成下图，方便大家梳理。
其次，上面说的有理数(实数)的密度和实数中有理数的密度是两个概念。
当我们说拓扑空间X的子集A在X中是稠密的，这意味着对于X中的每个点X，都有序列A，A，...在A中，它收敛到X(一般定义为A的闭包)。
有理数在实数中是密集，因为对于每个实数x，
或者表示为有限小数，比如x 1/2 0.5，那么收敛到x 1/2的序列就是0.5，0.5，...；
或者表示为无限循环小数，例如x 1/3 0.3，那么收敛到x 1/3的序列是0.3，0.33，0.333，...；
或者表示为一个无限非循环小数，例如x π 3.14159，那么收敛到x π的序列是3.1，3.14，3.141，...；
第三，连续性和可导性之间存在极限相关性。因为，f(x)在x点的导数定义为:
如果f(x)在x处不连续，当x逼近x时，|x-x|逼近0，而|f(x)-f(x)|不逼近0，则导致f(x) ∞，即f(x)在x处不可导。上述结论的逆命题是:
如果f(x)在x处可导，那么f(x)在x处一定是连续的。
反之，则不成立！著名的W《数学分析》。
同时，为了让概念更容易理解，上面的讨论也牺牲了严谨性，书面讨论可能没有那么数学化。
此外，小石头讨论中选择的切入角度和推进都是为研究《高等数学》的人设计的。如果你研究《数学分析》，你可能不需要阅读。如果你没有研究过《高等数学》，这可能不合适。请仔细阅读。
毕竟，小石 s数学水平有限，错误在所难免。欢迎批评指正！)